قضیه: برای یک ماتریس مربع از مرتبه n، موارد زیر معادل هستند: A معکوس است. باطل بودن A 0 است. … سیستم Ax=0 فقط راه حل ساده را دارد.
حداقل تهی یک ماتریس چقدر است؟
با استفاده از این واقعیت که حداکثر رتبه min{m, n} است، می توانیم نتیجه بگیریم که حداقل بی اعتباری n−min{m, n}=n+max{−m, − است. n}=max{n−m، 0}. به عبارت دیگر، اگر n≤m، حداقل بی‌ثباتی 0 است، در غیر این صورت اگر n>m باشد، حداقل بی‌ثباتی n−m است.
آیا بعد فضای تهی می تواند 0 باشد؟
بله، dim(Nul(A)) 0 است. به این معنی است که فاضه تهی فقط بردار صفر است. فضای خالی همیشه حاوی بردار صفر خواهد بود، اما می تواند بردارهای دیگری نیز داشته باشد.
آیا فضای تهی می تواند خالی باشد؟
چون T بر روی فضای برداری V عمل می کند، پس V باید شامل 0 باشد، و از آنجایی که نشان دادیم که فضای خالی یک زیرفضا است، پس 0 همیشه در فضای خالی یک نقشه خطی است، بنابراین فضای تهی یک نقشه خطی هرگز نمی تواند خالی باشد زیرا همیشه باید حداقل یک عنصر، یعنی 0. داشته باشد.
آیا ممکن است یک ماتریس دارای رتبه 0 باشد؟
بنابراین اگر یک ماتریس ورودی نداشته باشد (یعنی ماتریس صفر) هیچ سطر یا ستون وابسته به خطی ندارد و بنابراین دارای رتبه صفر است. اگر ماتریس حتی فقط 1 ورودی داشته باشد، آنگاه یک سطر و ستون مستقل خطی خواهیم داشت و رتبه آن 1 است، بنابراین در نتیجه، تنها ماتریس رتبه 0 ماتریس صفر است
