از آنجایی که یک ماتریس واقعی می توانددارای مقادیر ویژه پیچیده باشد (که در جفت های مزدوج مختلط رخ می دهد)، حتی برای یک ماتریس واقعی A، U و T در قضیه فوق می توانند مختلط باشند.
آیا مقادیر ویژه واقعی می توانند بردارهای ویژه پیچیده داشته باشند؟
اگر ماتریس n × n A دارای ورودی های واقعی باشد، مقادیر ویژه پیچیده آن همیشه در جفت های مزدوج مختلط رخ می دهد… دیدن این بسیار آسان است. به یاد بیاورید که اگر یک مقدار ویژه مختلط باشد، بردارهای ویژه آن به طور کلی بردارهایی با ورودی های مختلط خواهند بود (یعنی بردارهایی در Cn، نه Rn).
آیا یک ماتریس می تواند مقادیر ویژه واقعی نداشته باشد؟
حداقل یک مقدار ویژه واقعی از یک ماتریس واقعی فرد وجود دارد. اجازه دهید n یک عدد صحیح فرد باشد و اجازه دهید A یک ماتریس واقعی n×n باشد. ثابت کنید که ماتریس A حداقل یک مقدار ویژه واقعی دارد.
آیا ماتریس 3x3 می تواند مقادیر ویژه واقعی نداشته باشد؟
به عنوان طول b≠0 و d≠0، ماتریس های زیادی بدون مقادیر ویژه واقعی خواهید داشت.
اگر یک ماتریس مقادیر ویژه نداشته باشد به چه معناست؟
در جبر خطی، یک ماتریس معیوب یک ماتریس مربعی است که مبنای کاملی از بردارهای ویژه ندارد و بنابراین قابل قطریابی نیست. به ویژه، یک ماتریس n × n معیوب است اگر و فقط اگر n بردار ویژه خطی مستقل نداشته باشد.
