اثبات با استقرا که جابه‌جایی یک ماتریس تعیین کننده آن را تغییر نمی‌دهد.
وقتی ماتریس جابجا می شود چه اتفاقی برای تعیین کننده می افتد؟
تعیین جابجایی یک ماتریس مربع برابر است با تعیین کننده ماتریس، یعنی |در|=|A| … سپس تعیین کننده آن 0 است. اما رتبه یک ماتریس با رتبه انتقال آن برابر است، بنابراین At دارای رتبه کمتر از n و تعیین کننده آن نیز 0 است.
آیا معکوس کردن یک ماتریس تعیین کننده را تغییر می دهد؟
مقدار det(AB)=det(A)det(B)، به طوری که det(A)det(A-1)=1. به عبارت دیگر، یک ماتریس معکوس دارای تعیین کننده معکوس (به صورت ضربی) است. (اگر روی یک فیلد کار می کنید، این بدان معنی است که تعیین کننده غیر صفر است.)
آیا تعویض ردیف ها تعیین کننده را تغییر می دهد؟
اگر یک سطر (ستون) از A ضرب در k اسکالر به سطر دیگر (ستون) A اضافه کنیم، دترمینان تغییر نخواهد کرد. اگر دو سطر (ستون) را در A عوض کنیم، تعیین کننده علامترا تغییر می دهد.
