اگر A یک ماتریس m × n باشد، ATA و AAT مقادیر ویژه غیر صفر یکسانی دارند… بنابراین Ax بردار ویژه AAT مربوط به مقدار ویژه λ است. از یک استدلال مشابه می توان برای نشان دادن اینکه هر مقدار ویژه غیر صفر AAT یک مقدار ویژه ATA است استفاده کرد، بنابراین اثبات را کامل می کند.
آیا مقادیر ویژه AAT و ATA یکسان هستند؟
ماتریس‌های AAT و ATA مقادیر ویژه غیرصفر یکسان دارند. بخش 6.5 نشان داد که بردارهای ویژه این ماتریس های متقارن متعامد هستند.
آیا ATA همان AAT است؟
از آنجایی که AAT و ATA متقارن واقعی هستند، می توان آنها را با ماتریس های متعامد مورب قرار داد. از عبارت قبلی (از آنجایی که تعددهای هندسی و جبری منطبق هستند) نتیجه می گیرد که AAT و ATA مقادیر ویژه یکسان دارند.
آیا ATA مقادیر ویژه مجزایی دارد؟
درست است. برای مثال، اگر A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 ، آنگاه معادله مشخصه det(A - λI)=-25 - 15λ + 10λ2 - λ3=0 ریشه تکراری ندارد. بنابراین همه مقادیر ویژه A متمایز هستند و A قابل قطریابی است. 3.35 برای هر ماتریس واقعی A، AtA همیشه قابل قطر است.
آیا بردارهای ویژه مختلف می توانند مقدار ویژه یکسانی داشته باشند؟
دو بردار ویژه متمایز مربوط به همان مقدار ویژه همیشه به صورت خطی وابسته بههستند. دو بردار ویژه متمایز مربوط به مقدار ویژه یکسان همیشه به صورت خطی وابسته هستند.
