مثال: حلقه Z اعداد صحیح گاوسی یک مدول Z به‌طور محدود تولید شده است و Z نوترین است. طبق قضیه قبلی، Z یک حلقه نوتری است. قضیه: حلقه‌های کسر حلقه‌های نوتری نوتری هستند.
آیا Z X یک حلقه نوتری است؟
حلقه Z[X, 1 /X] نوترین است زیرا با Z[X, Y]/(XY − 1) هم شکل است.
چرا Z Noetherian است؟
اما ایده‌آل‌های بسیار محدودی در Z وجود دارند که حاوی I1 هستند، زیرا با ایده‌آل‌های حلقه محدود Z/(a) توسط Lemma 1.21 مطابقت دارند. بنابراین زنجیره نمی تواند بی نهایت طولانی باشد، و بنابراین Z نوتری است.
دامنه Noetherian چیست؟
هر حلقه ایده آل اصلی، مانند اعداد صحیح، نوتری است زیرا هر ایده آل توسط یک عنصر ایجاد می شوداین شامل حوزه های ایده آل اصلی و حوزه های اقلیدسی است. یک دامنه Dedekind (به عنوان مثال، حلقه های اعداد صحیح) یک دامنه نوتر است که در آن هر ایده آل حداکثر توسط دو عنصر ایجاد می شود.
چگونه ثابت کنید که یک حلقه نوتری است؟
قضیه A حلقه R نوتری است اگر و فقط اگر هر مجموعه غیر خالی از ایده آل های R حاوی یک عنصر حداکثر باشد اثبات ⇐=فرض کنید I1 ⊆ I2 ⊆··· باشد. یک زنجیره صعودی از آرمان های R. S={I1, I2, …} را قرار دهید. اگر هر مجموعه غیر خالی از ایده آل ها حاوی یک عنصر حداکثر باشد، S حاوی یک عنصر حداکثر است، مثلاً IN.
