بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه مجزا به صورت خطی مستقل هستند. در نتیجه، اگر همه مقادیر ویژه یک ماتریس متمایز باشند، بردارهای ویژه متناظر آنها فضای بردارهای ستونی را که ستون‌های ماتریس به آن تعلق دارند، می‌پوشاند.
چگونه متوجه می شوید که بردارهای ویژه به صورت خطی مستقل هستند؟
بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه مجزابه صورت خطی مستقل هستند. … اگر مقادیر ویژه مکرر وجود داشته باشد، اما معیوب نباشند (یعنی تعدد جبری آنها برابر با تعدد هندسی آنها باشد)، همان نتیجه فراگیر برقرار است.
آیا بردارهای ویژه می توانند به صورت خطی وابسته باشند؟
اگر A یک ماتریس مختلط N × N با N مقدار ویژه مجزا باشد، آنگاه هر مجموعه ای از N بردار ویژه متناظر مبنایی برای CN است.اثبات کافی است ثابت کنیم که مجموعه بردارهای ویژه مستقل خطی است… از آنجایی که هر Vj=0، هر زیر مجموعه وابسته از {Vj} باید حداقل دو بردار ویژه داشته باشد.
آیا همه بردارهای ویژه یک مقدار ویژه به صورت خطی مستقل هستند؟
بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه متمایز همیشه به صورت خطی مستقل هستند. از این نتیجه می شود که ما همیشه می توانیم یک n × n ماتریس را با n مقدار ویژه متمایز مورب قرار دهیم زیرا دارای n بردار ویژه خطی مستقل است.
وقتی مقادیر ویژه به صورت خطی مستقل هستند؟
اگر مقادیر ویژه A متمایز باشند، مشخص می شود که بردارهای ویژه به صورت خطی مستقل هستند. اما اگر هر یک از مقادیر ویژه تکرار شود، ممکن است بررسی بیشتری لازم باشد. که در آن β و γ هر دو در یک زمان برابر با صفر نیستند.
