به طور غیررسمی، اگر گروهی توسط یک عنصر منفرد ایجاد شود چرخه ای است. اگر ضرب جابجا شود، آبلی است. اگر گروهی بتواند توسط یک عنصر تولید شود، چرخه ای است.
آیا یک گروه آبلی حلقوی است؟
همه گروه‌های حلقوی آبلی هستند، اما گروه آبلی لزوماً چرخه‌ای نیستند. همه زیر گروه های یک گروه آبلی عادی هستند. در یک گروه آبلی، هر عنصر به تنهایی در یک کلاس مزدوج قرار دارد و جدول کاراکترها شامل قدرت های یک عنصر منفرد است که به عنوان مولد گروه شناخته می شود.
چگونه ثابت می کنید که یک گروه آبلی چرخه ای است؟
اثبات
- بگذارید G یک گروه حلقوی با مولد g∈G باشد. یعنی G=⟨g⟩ داریم (هر عنصر در G مقداری توان g است.)
- بگذارید a و b عناصر دلخواه در G باشند. سپس n، m∈Z وجود دارد به طوری که a=gn و b=gm.
- بنابراین ab=ba را برای a، b∈G دلخواه به دست می آوریم. بنابراین G یک گروه آبلی است.
چگونه متوجه می شوید که یک گروه چرخه ای است؟
4 پاسخ. یک گروه متناهی اگر، و فقط اگر، دقیقاً یک زیرگروه از هر مقسوم علیه مرتبه اشدارد، چرخه ای است. بنابراین اگر دو زیرگروه با یک ترتیب پیدا کردید، گروه چرخه ای نیست، و این می تواند گاهی اوقات کمک کند.
گروه چرخه ای چیست با یک مثال توضیح دهید؟
برای مثال، (Z/6Z)×={1, 5} ، و چون 6 دو برابر عدد اول فرد است، این یک گروه چرخه ای است. زمانی که (Z/nZ)× حلقوی باشد، مولدهای آن ریشه های اولیه modulo n نامیده می شوند. برای عدد اول p، گروه (Z/pZ)× همیشه حلقوی است که از عناصر غیرصفر میدان محدود مرتبه p تشکیل شده است.
